Matematică
ionutmuresan83
2016-04-10 14:16:48
Sa se determine x si y astfel incat 1*2*3*4*...*x+57=y^4
Răspunsuri la întrebare
Cont şters
2016-04-10 17:57:20

Ultima cifra a unui patrat perfect de forma y² unde y∈N este u.c(y²)∈{0;1;4;5;6;9} y⁴=(y²)² ⇒membrul din dreapta al ecuatiei de mai sus este patrat perfect si are ca ultima cifra u.c((y²)²)∈{0;1;5;6} Deoarece membrul din dreapta al ecuatiei este patrat perfect atunci ,evident ca 1·2·3·4·...·x+57 este patrat perfect. Pentru x∈N distingem doua cazuri a. x>5 ; b. x<5 ; Daca x>5 atunci numarul 1·2·3·...·x va contine cel putin un multiplu de 10 sau un produs dintre 5 si respectiv un numar par(2;4;6;8 etc) ⇒ u.c(1·2·3·...·x +57)=u.c(1·2·3·...·x)+u.c(57)=0+7=7 Ultima  cifra a unui patrat nu poate fi 2;3;7 sau 8 deci pentru x>5 nu convine cerinta. Daca x<5 ⇒x∈{1;2;3;4} Daca x=1 ⇒1+57=y⁴ ⇔58=y⁴ ⇔imposibil deoarece 8 nu este ultima cifra de patrat perfect; Daca x=2 ⇒2+57=y⁴ ⇔59=y⁴ ⇔nu convine varianta ; Daca x=3 ⇒6+57=y⁴ ⇔63=y⁴ ⇔imposibil deoarece 3 nu este ultima cifra de patrat perfect; Daca x=4 ⇒24+57=y⁴⇔81=y⁴ ⇒y=3 ⇒convine varianta; Concluzie x=4 si y=3 .

Adăugați un răspuns